اجزا محدود چیست؟

امروزه ضروری ترین و آسان ترین روش برای مدلسازی کامپیوتری مسائل پیچیده مختلف روش اجزا محدود می باشد. اصلی ترین دلیل اهمیت بالای روش اجزا محدود به دلیل قابلیت استفاده این روش در زمینه های مختلف مهندسی و صحت قابل قبول نتایج بدست آمده می باشد. روش اجزا محدود امروزه در رشته های مهندسی مکانیک، مهندسی عمران، مهندسی پزشکی، مهندسی هسته ای، هیدرودینامیک، انتقال  حرارت، ژئومکانیک و .. به کار می رود. از طرف دیگر مطالعات زیادی نشان داده اند که روش اجزا محدود یک ابزار قدرتمند برای حل معادلات دیفرانسیل حاکم بر مسائل فیزیکی مختلف  و شبیه سازی فرآیندهای کاربردی متنوعی می باشد. مراحل تحلیل راه حل در روش اجزا محدود شامل فرموله کردن مسئله با استفاده از معادلات حساب دیفرانسیل تغییری، گسسته سازی اجزاء محدود این معادلات و سرهم بندی معادلات حاصل برای بدست آوردن راه حل موثر می باشد که این مراحل برای تمامی مسائل مورد نظر یکسان می باشد. فرآیند اجزا محدود یک راه حل تحلیل مهندسی با استفاده از کامیپیوترهای دیجیتال فراهم می آورد. بنابراین روش اجزا محدود را می توان به عنوان یک راه حل عددی برای حل مسائل مختلف در قالب فرموله کردن آنها به صورت معادلات دیفرانسیل در نظر گرفت. این روش می تواند در گستره وسیعی از معادلات و شرایط بارگذاری در نظر گرفته شود. به علاوه، روش اجزا محدود می تواند برای حل مسائل سیستم های خطی و غیر خطی و همچنین مسائل استاتیک و دینامیک به کار رود.

جهت شفاف کردن مسئله و توضیح روش اجزاء محدود می توان گفت که برای یک دامنه مشخص، رفتار این محدوده به طور عادی با روش های حل تحلیلی قابل حل نمی باشد. روش اجزاء محدود مدلی را ارائه می کند که با ایده آل سازی این محدوده می توان به تقریبی از رفتار دامنه موردنظر رسید. بدین منظور هندسه و رفتار دامنه مورد نظر به تعدادی زیر دامنه تقسیم می شود که به این زیردامنه ها المان می گویند. سپس رفتار این زیردامنه ها تک به تک تخمین زده می شوند. بدین منظور، رفت تعداد نقاط محدودی برای تعریف و ساخت زیر دامنه های استفاده می شود و مقادیر  معادلات هدف و مشتقات انها در این نقاط مشخص می شوند. به این نقاط، گره می گویند. سپش دامنه اصلی به صورت تقریبی از مجموعه زیردامنه ها (المان ها) بیان می شود. المان های محدود با نقاط گره یک شبکه بندی یا مش را تشکیل می دهند. نمونه ای شبکه بندی با المان ها گره ها در شکل زیر نشان داده شده است.

در ریاضیات روش اجزا محدود یک روش عددی برای یافتن جواب های تقریبی مسائل مقدار مرزی در معادلات دیفرانسیل پاره ای (جزئی) می باشد. در این روش دامنه (دومین Domain) مسئله به اجزاء کوچکتری به نام المان های محدود (اجزا محدود) تقسیم می شود و روش های حساب تغییری برای حل مسئله مورد نظر با کمینه کردن تابع خطای مرتبط، به کار می رود. به عنوان مثال با اتصال تعداد زیادی از خطوط مستقیم بسیار کوچک می توان یک دایره را تقریب زد.

مفاهیم اولیه در روش اجزا محدود (FEM):

تقسیم بندی کل مدل به تعداد اجزای کوچکتر چند مزیت دارد:

1.  بیان دقیق از یک هندسه پیچیده
2. در برگیری خواص متفاوت مواد
3. بیان آسان از تحلیل کلی مسئله
4. استخراج اثرات محلی

روند کلی حل مسئله در روش اجزای محدود عبارت است از ۱: تقسیم بندی دامنه مسئله یا مجموعه از از زیردامنه ها (المان ها)، که هریک از این المان ها توسط مجموعه معادلاتی مسئله را توصیف می کنند. این معادلات معمولا یک سری معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) می باشند.۲: بازترکیب تمامی معادلات در یک دستگاه مختصات عمومی جهت حل نهایی مسئله. در این مرحله معادلات از دستگاه مختصات محلی به دستگاه مختصات عمومی.

تاریخچه

پیدایش روش اجزاء محدود به حل مسائل پیچیدهٔ الاستیسیته و تحلیل سازه‌ها در مهندسی عمران و هوا فضا برمیگردد. این روش حاصل کارالکساندرهرنیکوف (1941) و ریچارد کورانت (1942) می‌باشد. با این که روش کار این دو دانشمند کاملاٌ متفاوت بود، اما یک ویژگی مشترک داشت: تقسیم یک دامنهٔ پیوسته (ماده) به یک سری زیردامنه (قطعات کوچکتر ماده) به نام المان (اجزاء).

اولین راه حل تقریبی موثر مسائل مربوط به مکانیک تغییر شکل جامدات در سال ۱۹۰۹ توسط Ritz ارائه شد. روش تقریبی بر اساس توابع معلوم و ضرایب مجهول بود. ضرایب مجهول می توانند با حل مجموعه معادلاتی که  از کمینه سازی توابع مربوط به هر مجهول استخراج شوند. محدودیت روش ریتز این بود که توابع حاصل بایستی شرایط مرزی مسئله مورد نظر را ارضا کنند. در سال ۱۹۴۳ کورانت Courant توابع خطی مشخصی را به روش ریتز وارد کرد که می توانست امکان پذیری روش او را افزایش دهد. توبع خطی برای المان های مثلثی تعریف شده بودند و سپس روش ریتز برای حل مسائل پیچش به کار بسته می شد.  کورانت مقادیر این توابع خطی را از نقاط گره های المان های مثلثی استخراج  کرد و سپس مقادیر مجهول را بدست آورد. عبارت اجزاء محدود برای اولین بار توسط Clough در سال ۱۹۶۰ ارائه شد. او یک روش اجزاء محدود مشابه روش ریتز و اعمال اصلاحات بر روی روش کورانت ارائه نمود. ر